\subsection{系统模型}\label{Cha:BC:MISO:SystemModel}
本节将\ref{Cha:BC:SISO:SystemModel}节的可见光广播信道模型扩展至如图\ref{Fig:BC:MISO:SystemModel}所示的多输入单输出（MISO）场景。与图\ref{Fig:BC:SISO:SystemModel}相比，接收机保持不变，发射机由单个LED构成变为由$ N $个LED构成的阵列，输入信号的有关约束和性质与之前相似。因此，第$ i $个用户的发射信号为
\begin{align}
\bfx^{\mathrm{BC}}_{\mathrm{T},i}=\bfw_i X_i+\bfb,
\end{align}
式中，$ \bfw_i\in\bbR^N $表示第$ i $个用户的波束成形向量；$ \bfb=\left[b,\dots,b\right]\in\bbR^N $表示直流偏置向量。为了保证发射信号的非负性，波束成形向量$ \bfw_i $的每个元素$ w_{i,n} $需要满足
\begin{align}
\sum_{i=1}^{K}A_i\abs{w_{i,n}}\leq b,\forall n\in \calN,
\end{align}
式中，$ \calN $表示发射机LED的索引集，$ \calN\triangleq\left\{1,\dots,N\right\} $。

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[scale=0.8]{figures/BC/MISO/BC_MISO_System_Model.eps}
    \caption{可见光MISO广播信道系统模型}{The schematic of VLC MISO BC}
    \label{Fig:BC:MISO:SystemModel}
\end{figure}



如同之前的讨论，可见光广播信道波束成形发射信号的平均光功率$ P^{\mathrm{BC,MISO}}_o $和平均电功率$ P^{\mathrm{BC,MISO}}_e $分别为
\begin{subequations}
\begin{align}
{{P}}_{\mathrm{o}}^{{\mathrm{BC,MISO}}}&=\mean{\sum_{n=1}^{N}\left(\sum_{i=1}^{K}w_{i,n}X_i+b\right)}=\mean{\sum_{i=1}^{K}\sum_{n=1}^{N}w_{i,n}X_i +Nb}=Nb,\\
{{P}}_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{BC,MISO}}}&=\mean{\sum_{n=1}^{N}\left(\sum_{i=1}^{K}w_{i,n}X_i+b\right)^2}= \mean{{\sum_{i=1}^{K}\left(\norm{\bfw_i X_i}^2 +2X_i\bfw_i^T\bfb\right)+ \norm{\bfb}^2} }\nonumber\\
&= \sum_{i=1}^{K}\varepsilon_i\norm{\bfw_i}^2+Nb^2.\label{Eqn:BC:MISO:AverageElectricalPower}
\end{align}
\end{subequations}
式中，$ \vones $表示元素全部为$ 1 $的向量

第$ i $个接收机接收到的信号$ Y_i $可以表示为
\begin{align}
Y_i=\sum_{j=1}^{K}\bfg_i^T\left(\bfw_i X_j+\bfb\right)+Z_i,\label{Eqn:BC:MISO:RecvSignal}
\end{align}
式中，$ \bfg_i=\left[g_{i,1}.\dots,g_{i,N}\right]^T\in\bbR^N $表示从发射机到第$ i $个接收机的信道增益向量；$ Z_i $表示方差为$ \sigma^2 $的零均值高斯白噪声。

由于可见光视距链路的信道增益远大于散射链路\cite{Zeng2009,Gao2015,Ying2015,Fath2013,Ma2017,Wang2013,Grubor2008}，本文只考虑视距链路的信号传输，故第$ n $个LED到第$ i $个接收机的信道增益为\cite{Kahn1997}
\begin{align}\label{Eqn:BC:MISO:SystemModel:ChannelGain}
\begin{array}{*{20}{c}}
{{g_{i,n}} = }&{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
        {\frac{{\left( {m + 1} \right){\eta _{\rm{c}}}{\eta _{\rm{l}}}G{A_{\rm{r}}}}}{{2\pi d_{i,n}^2}}{{\cos }^2}\left( \theta  \right)\cos \left( {{\psi _n}} \right),{\mkern 1mu} }&{\left| {{\psi _n}} \right| \le {\psi _{{\rm{FoV}}}};}\\
        {0,}&{{\mkern 1mu} \left| {{\psi _n}} \right| > {\psi _{{\rm{FoV}}}},}
        \end{array}} \right.}
\end{array}
\end{align}
式中，$ d_{i,n} $为第$ n $个LED到第$ i $个接收机的距离；$ m $为朗伯（Lambertian）发光系数：$ m=-\ln2/\ln\left(\cos\theta_{1/2}\right) $，$ \theta_{1/2} $为LED的半功率角；$ \eta_{\mathrm{c}}$和$\eta_{\mathrm{l}} $分别表示电-光转换系数和光-电转换系数；$ G $表示跨阻放大器的增益；$ \theta $和$ \psi_n $分别表示发射角和入射角；$ \psi_{\mathrm{FoV}} $表示接收机的视场角（Filed of Vision）；$ A_{\mathrm{r}} $表示接收机的物理面积\cite{Zeng2009}：
\begin{align*}
A_{\mathrm{r}} = \frac{n_{\mathrm{r}}^2}{\sin^2\left(\psi_{\mathrm{FoV}}\right)}A_{\mathrm{PD}},
\end{align*}
式中，$ n_{\mathrm{r}} $表示接收机透镜折射率，$ A_{\mathrm{PD}} $表示PD的几何面积。